“或许没有任何一部著作像这本小书一样，对整个科学界，尤其是数学界，产生了如此深远的影响。它为彻底废除极其繁琐、甚至可以说是噩梦般的长除法和长乘法运算，以及求幂和求根的过程铺平了道路。”

著名海军史学家D·W·沃特斯在1958年写道，他当时正在描述一本名为《奇妙对数律》 （Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio）的拉丁文书籍，该书由苏格兰贵族、数学家、物理学家和天文学家约翰·纳皮尔（第八代默奇斯顿领主）于1614年出版。尽管这本书的大部分内容（90页）是包含三角函数对数值的表格，但正是其中解释对数这一新概念的57页内容受到了热烈赞誉。

纳皮尔此前已在数学计算领域做出了诸多贡献，但对数的发明才是他最杰出的成就。他以希腊语“logos”（意为“比例”）和“arithmos ”（意为“数字”）命名了他的新发明。纳皮尔的同代人立刻意识到，他的概念能够简化计算，并加速包括数学、物理、天文学在内的多个学科的知识发展，而由此也引申出一个对当时英国更为重要的领域：航海和帝国扩张。

这是纳皮尔耗时20年完成的90页对数表中的一页。

对数的最初概念

虽然今天我们对对数的概念有了多种理解——例如，它可以是指数函数的反函数，也可以是函数 1/ x 的积分——但重要的是要记住，许多我们现在与对数相关的数学领域在纳皮尔提出对数概念时并不存在。事实上，纳皮尔对数的概念源于他对粒子运动学的研究。

纳皮尔对其对数的原始运动学图示

我们尚不清楚是什么促使他以这种方式思考这个问题，但纳皮尔设想一个粒子以每秒 1 个单位的恒定速度沿一条无限长的直线（即他上图中的第一条直线）运动。如果这条直线上每一点之间的距离都是 1 个单位，那么到 C、D、E 等点的距离就可以通过每次加 1 个单位来简单地计算出来。

然后，他考虑了另一个粒子，它与第一个粒子同时出发，速度也相同，但沿长度为a 个单位（a可能是一个很大的整数）的有限直线运动，并且速度每秒按 1/ a的恒定比例递减（如上图左下角的直线所示）。两个粒子都会永远运动下去，但原因却截然不同。第一个粒子的运动距离是无限的，而第二个粒子剩余的运动距离则是一个无限的等比数列。我把这种情况比作人们常做的那种梦：他们试图到达某个目的地，但无论他们离目的地有多近，似乎都永远无法真正到达。

参考上图纳皮尔的示意图，在一秒钟内，第一个粒子移动了一个单位到达点 C，第二个粒子也将移动一个单位到达点 。那么，点 到几何线段 ω 的端点之间的距离为a⁻¹，或者也可以这样表示：

现在第一个粒子从 A 点到 D 点需要 2 秒。但第二个粒子从 点到 点的运动速度成比例地降低，因此第二个点 点到终点 ω 点的距离为：

类似地，第三点ε与终点ω之间的距离为

纳皮尔运用他对对数的定义，将这两个粒子的运动联系起来，如下所示：

AC = log(ω) = 1AD = log(ω) = 2AE = log(εω) = 3等等，无穷无尽

当然，纳皮尔实际上是将对数与他定义的等比数列的幂指数联系起来，通过这种方式，他成功地将乘法运算简化为加法运算。这正是纳皮尔对数概念与我们今天对数理解之间的关键联系。

纳皮尔发表了长达90页的表格，这些表格是他花了20年时间计算对数得出的，旨在造福他人。纳皮尔举了一个例子来说明他新对数的计算价值：求1,000,000和500,000这两个数的几何平均值。他认为，利用对数转换，原本复杂的乘法和平方根运算可以简化为简单的加法和除以2的运算。

“已知极值分别为 1000000 和 500000，求中值比例：通常的方法是将两个极值相乘，然后开平方根。但我们更早地找到了它：将极值 0 和 693147 的对数相加，所得和为 693147，再除以 2，所得商 346573 即为所求中值比例的对数。由此可得中值比例为 707107，其弧度为 45 度，与之前相同……只需相加，再除以 2 即可。”

现代对数定义

如今对数的定义有很多种。最通用的定义，与纳皮尔的定义类似，只包含两行简单的公式，这也是我一直向学生强调的定义，因为令我惊讶的是，很多人在使用对数时竟然忘记了这个简单的关系：

如果我们指定底数a为 10，我们就得到了常用对数；如果我们指定底数为指数常数e，我们就得到了自然对数，使得

现在我们可以用更现代的定义来重新阐释纳皮尔最初提出的对数的计算价值。假设我们想要计算两个非常大的数m和n 的几何平均值。直接计算的话，我们需要取一个更大的数mn并开平方根。但是，如果我们令j = ln( m)和k = ln (n )，我们可以这样说：

所以我们可以说：

实际上，在处理对数时，乘法变成了加法，开方变成了除法，从而大大减少了计算时间和复杂度。

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“计算尺”或“滑尺”——几个世纪以来一直用于进行对数计算

在计算机普及之前，对数计算辅助工具通常有两种使用方式，这两种方式我都还记得在学校里使用过：

对数表——这类书籍可以在表格中查找对数值，表格形式与纳皮尔最初的90页对数表非常相似。计算尺或滑尺——这些巧妙的机械计算工具在纳皮尔发表其著作后不久便被发明出来，它通过滑动对数刻度来计算对数加法（乘法）或对数差法（除法）。

对数的奇妙之处与弊端

对数可以帮助我们将指数关系转化为线性关系，从而更容易计算这些关系的性质。例如，假设你正在模拟一个化学反应随时间的变化，并且你假设某种特定化学物质的浓度C具有以下形式：

对于某些常数p和q，两边取对数，可得

因此，如果我们绘制 ln(C) 对t 的关系图，我们预期会得到一条类似直线的曲线。这是一种验证假设关系的简单方法，但我们也可以利用实际数据，通过直线的斜率和y轴截距来估计p和q的值。

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普渡制药公司利用对数刻度来误导性地论证奥施康定中羟考酮的缓慢释放。

这类方法在实验科学中被证明极其宝贵，但也容易被滥用。例如，普渡制药公司曾大量使用对数刻度来论证奥施康定缓释系统能够降低阿片类药物成瘾的风险。但显然，在对数刻度上缓慢下降的数值，在线性刻度上可能下降得更快。在这个著名的案例中，有关部门花了太长时间才意识到自己被蒙蔽了。可怜的约翰·纳皮尔泉下有知，定会感到无比痛心！

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